OBMEP 2021 - QUESTÃO 05 A figura ao lado mostra um hexágono regular ABCDEF e os pontos médios P, Q, R, S e T dos lados AB, CD, DE, EF e FA, ...
OBMEP 2021 - QUESTÃO 05
A figura ao lado mostra um hexágono regular ABCDEF e os pontos médios P, Q, R, S e T dos lados AB, CD, DE, EF e FA, respectivamente.
a) Se a área do triângulo AST for igual a 1 cm², qual será a área do triângulo FTS?
b) Qual é a razão entre as áreas dos triângulos APR e PBQ?
c) Qual é a razão entre as áreas sombreada e não sombreada na figura abaixo?
QUESTÃO ANTERIOR:
RESOLUÇÃO:
Item A
Os triângulos AST e FTS têm a mesma área e, portanto, a área de FTS é igual a 1 cm². De fato, o segmento GS, na figura, é perpendicular à reta que contém os lados AT e TF dos triângulos AST e FTS e é a altura comum desses triângulos relativa a esses lados. Como T é ponto médio de AT, os triângulos AST e FTS têm a mesma área.
Item B
A razão entre as áreas dos triângulos APR e PBQ é ![](https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgoy6pm2m8fGyMd_LuDW6PQHgQn9vcKhBRSF4bX9XkvWuu0g_hyY5-alvi7LY5CCTZ5QH0pgRRt3jkLj9AerVoRFS0I7Id4aO6vfzeVmVXircdHOaaJKzQh916eO13J01jWrL1UvQS-uMVV7EzdNs7mqTx1inpriFsVlTYPARrI4RBw6cyQUqJQUOLN=rw)
De fato, os lados AP e PB dos triângulos APR e PBQ, respectivamente, são colineares e têm a mesma medida. Os segmentos paralelos a eles, pelos pontos médios T, S e pelo vértice F do hexágono, como indicado na figura ao lado, dividem as alturas dos triângulos APR e PBQ na razão
pois esses segmentos paralelos a AB e ED, recém-traçados são equidistantes.
Como as bases têm a mesma medida, a razão entre as áreas coincide com a razão entre as alturas e é igual a ![](https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjpAgw7S1x3mMO5yL-niWsel5JJ-90sB75CI5iDRtpugNYgiY1RdBLeVS79aKiMnJlvUGD_v6X_OxQFhJFDlRX1UVuaUwNIRpNEcJ0ulM_Ve2aPvTUSmyK7eVNR9bNu73VO3uBX8bQuL1EXo5G-IToaArc5KxGuLLDoxuwTs8DRaIQu701LXMMvaRyk=rw)
Item C
Para calcular a razão entre as áreas sombreada e não sombreada, façamos o seguinte: tracemos os segmentos AEe P’R’, paralelos à diagonal BD do hexágono ABCDEF, sendo P’ e R’ determinados pela intersecção da reta paralela a BD passando pelo vértice F com os prolongamentos dos lados BA e DE, respectivamente, conforme a figura à esquerda.
Esses segmentos determinam um paralelogramo BDR’P’, que é um retângulo (os ângulos ABD e BDE são retos).
Além disso, como o triângulo BCD tem a mesma área que a reunião dos triângulos AFP´ e ER´F, por congruência, o retângulo BDR’P’ tem a mesma área que o hexágono original, que denotaremos por H.
Podemos comparar a área de cada um dos triângulos sombreados com a área H do hexágono.
• A área do triângulo APR é a metade da área do retângulo APRE, que, por sua vez, é igual a ![](https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEi4wxBcwWh6q2DEWWwx6ZItcNcp5oolaZAtxffsW6HeZPFk48JZR5axwFDMx5Nkm5jJl9rscYLO7FLUVKwKy4n_4TKiQ9npT9p3aV2HD-96hjo8EmG3SNcvCLHMyCeu2DIgfZ8L-5NZRzpl2_hkAxWUN-4xDYkMWrm6HR5atayXTZ1sO5A1xYP8Diwm=rw)
Daí, a área desse triângulo é igual a ![](https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEippG28U0ezoTygKAx9iRSNCqb81PeNqtQQ-vZe0bpHY6MCqAFFwy9_HLJGgTy6GGL1TMCMKY5BBYKDMawQICLphsaMY2EsXhy81pKFoyEyPR0hz8cr6z-59FlD1ag1AoVbNCzv50MaWXNwggKHaTVYzY6vnJxqpd1hEQHOV_VniLPwDaKF6r8HokBo=rw)
• A área do triângulo PBQ é
da área do triângulo APR, conforme visto no item b) e, portanto, sua área será ![](https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjx30FSW4w6eMlDS8PbrsAUN1UgF_kI3jJJzH77N6SbNIXqNBOJnRaRVbYOyC2zs58GOPskwcLlQUvAqiT2nnbcBEHqVvdwDqlC6rCgo5q3Jo_gvNL7SZ77OY2c1Tt-FHokZ-KWPMRezuQ7DvFR2kRaUjTAeR3v5BLLX7q56ZKy5J0ju8oeEKcbnEaU=rw)
• A área do triângulo AST é metade da área do triângulo ASF — vide item a) —, que, por sua vez, é igual a
da área do retângulo P´AER´, portanto, sua área será ![](https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEio2GopSPqCdYhyWXdruNZ-6owk-lRoIlti3RE9q7I8J0jLuOiAmsNsmhDwf6pZfSdBBh3jwn8ohgACGL3IXG1kfuwBj65yHhX83B730idiVxfGTtOphqSt0NAq6t_ernA-58KmewcfMVUaZHFYAEM58pIKYXqSQtBc5JWbbxEZZR-Stbfs6X8kKUi5=rw)
Temos, portanto, que a área sombreada é
e, consequentemente, a área não sombreada é igual a ![](https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEg3_5fs1vqe51mT75IECh5IUYb6oazg-2B019DEtw7ONldYkGBNv3CRZP1aGx5RALsb07D9vXnsRcYspJT6dwTCyaQJeCKkFiJl_DX2sp74s4VfY6odCa_t8m8HZhcyrW7chL4mUJ22cmtOqNFQVRrqiPrNTYvgYf-AbP5z72vGY6JjQ9JxNAhBoji0=rw)
Conclusão: a razão entre as áreas sombreada e não sombreada é igual a ![](https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjf-CTeP_mzc_GJ3hypY2rxiDXuoiMdE96884ANm0o1tKV66NzVLnQUc01dX_l1tqFzTLDnuOaz3bR-aNN7o-Ab50H0kYgsAKV3d-SWvcMgg6EFSG55J1bcv65VefYOeAsxTac9p9tEy0wkLcjNS_s94UXma_Aw95NNo7_xSN6w621Hu5sQrf6dyfUH=rw)
PRÓXIMA QUESTÃO:
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