Em cada uma das dez posições marcadas com as letras de A a J na figura abaixo, é colocada uma moeda

OBMEP 2021 - QUESTÃO 06 Em cada uma das dez posições marcadas com as letras de A a J na figura abaixo, é colocada uma moeda. Inicialmente, t...
OBMEP 2021 - QUESTÃO 06
Em cada uma das dez posições marcadas com as letras de A a J na figura abaixo, é colocada uma moeda. Inicialmente, todas as dez moedas são colocadas com a face coroa voltada para cima e um ponteiro aponta para a posição A. Esse ponteiro começa a se movimentar no sentido anti-horário, saltando de uma posição para a outra mais próxima.

Após cada salto,

• se o ponteiro apontar para uma moeda com a face cara para cima, nada acontece;

• se o ponteiro apontar para uma moeda com a face coroa para cima, deve-se, então, virar a moeda seguinte.

Por exemplo, após o primeiro salto, o ponteiro aponta para a posição B (coroa) e a moeda na posição C é virada, ficando com a face cara para cima.


a) Como ficarão as moedas nas posições C e D logo após o segundo salto do ponteiro?

b) Em quais posições as moedas ficarão com as faces coroa para cima após o décimo segundo salto?

c) Explique por que nunca todas as moedas ficarão com a face cara voltada para cima.

d) Explique por que todas as moedas ficarão novamente com a face coroa voltada para cima após algum salto futuro do ponteiro.

QUESTÃO ANTERIOR:

RESOLUÇÃO:
Vamos denotar por X uma moeda com a face cara para cima e Y a com a face coroa. Além disso, vamos representar uma certa configuração das moedas por uma lista de letras consecutivas, em que cada uma é X ou Y, começando pela primeira moeda após o ponteiro no sentido anti-horário e terminando sempre com a moeda para a qual o ponteiro está apontando no momento.


Item A
Podemos exibir explicitamente as mudanças de moedas a partir do início, da seguinte forma.


Como o ponteiro estará apontando para a posição C, podemos concluir que, em D, teremos uma moeda com a coroa virada para cima (letra Y) e, em C, uma moeda com a cara (letra X).

Item B
Podemos exibir explicitamente as primeiras 9 operações, da seguinte forma.


Assim, teremos moedas alternadas e o ponteiro apontará para a posição J. Os próximos três movimentos são os seguintes.


No final desse processo, o ponteiro apontará para a letra C (pois ele dará uma volta completa e avançará mais duas posições) e, assim, podemos concluir que estarão com a face cara para cima as moedas nas posições A, D, E, G e I. Logo, nas posições B, C, F, H e J, as moedas têm a face coroa voltada para cima.

Item C
Perceba que a operação do ponteiro é reversível, ou seja, dada qualquer configuração das moedas, existe apenas uma configuração imediatamente anterior que a produziu através do movimento do ponteiro. Assim, se, em um dado momento, todas as moedas estão com a face cara virada para cima, então, na posição imediatamente anterior, todas também estavam com a face cara virada para cima. Retrocedendo essa operação até o início, deveríamos concluir que todas estavam com a face cara para cima desde o princípio. Como isso é um absurdo, é impossível que em algum momento todas fiquem com a cara virada para cima.

Item D
O número de disposições de 10 moedas cara e coroa é finita, bem como o número de possíveis posições do ponteiro. Assim, o número de configurações das sequências associadas ao ponteiro é finito e, eventualmente, após alguma interação futura, deverá se repetir. Digamos que, após o ponteiro se mover i e j vezes, com i < j, as configurações são exatamente as mesmas. Como a operação é reversível, as configurações após i 1 e j 1 movimentos também são idênticas. Repetindo esse argumento i vezes, podemos concluir que as configurações após ii = 0 e j i movimentos do ponteiro são idênticas. Ou seja, após j i interações do ponteiro, a configuração resultante será a mesma do início e todas as moedas estarão com a face coroa virada para cima.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:
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curiosidades,2,enade,23,exercícios,4,inglês,1,português,1,provas,82,provas unicesumar,25,questão albert einstein,50,questão analista em tecnologia da informação,76,questão biomedicina,40,questão cfc,100,questão consulplan,168,questão consultor do tesouro estadual,27,questão cremern,27,questão da agirh,25,questão da albert einstein,71,questão da ameosc,15,questão da amrigs,10,questão da avança sp,88,questão da cesgranrio,70,questão da cespe,1,questão da espcex,397,questão da espm,80,questão da famema,168,questão da famerp,212,questão da fapese,10,questão da fatec,217,questão da fcc,120,questão da fepese,205,questão da fgv,883,questão da fmabc,90,questão da fmj,120,questão da fmp,60,questão da fuvest,633,questão da mackenzie,380,questão da oab,466,questão da obmep,162,questão da puc-rj,81,questão da reis&reis,20,questão da santa casa,259,questão da ucpel,64,questão da uece,302,questão da ueg,168,questão da uel,48,questão da uema,159,questão da uesb,60,questão da ufgd,447,questão da 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sociais,106,questão de comportamento organizacional,29,questão de concurso,2634,questão de conhecimentos gerais,8,questão de contabilidade,228,questão de design,126,questão de direito,854,questão de direito administrativo,12,questão de direito civil,15,questão de direito constitucional,16,questão de direito penal,28,questão de direito processual penal,21,questão de direito tributário,16,questão de economia,44,questão de economia empresarial,48,questão de educação física,164,questão de enfermagem,85,questão de engenharia,16,questão de engenharia ambiental,55,questão de engenharia civil,46,questão de engenharia elétrica,46,questão de engenharia florestal,55,questão de engenharia mecânica,45,questão de engenharia química,46,questão de ensino religioso,10,questão de espanhol,397,questão de estatística,24,questão de filosofia,215,questão de física,686,questão de fonoaudiologia,88,questão de francês,68,questão de gastronomia,49,questão de geografia,619,questão de gestão ambiental,46,questão de gestão comercial,28,questão de gestão de recursos humanos,40,questão de gestão financeira,27,questão de gestão hospitalar,25,questão de gestão pública,27,questão de história,575,questão de informática,39,questão de inglês,761,questão de italiano,25,questão de legislação,56,questão de literatura,96,questão de literatura brasileira,22,questão de marketing,44,questão de matemática,1671,questão de matemática financeira,27,questão de medicina,1406,questão de medicina veterinária,79,questão de música,106,questão de planejamento estratégico para cenários,27,questão de português,1400,questão de processos gerenciais,23,questão de química,604,questão de raciocínio lógico,45,questão de radiologia,74,questão de relações internacionais,60,questão de saúde pública,25,questão de secretariado executivo,56,questão de serviço social,53,questão de sociologia,82,questão de turismo,107,questão de ufgd,87,questão de vestibular,10527,questão de zootecnia,84,questão design de moda,27,questão do 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Questões com Gabarito: Em cada uma das dez posições marcadas com as letras de A a J na figura abaixo, é colocada uma moeda
Em cada uma das dez posições marcadas com as letras de A a J na figura abaixo, é colocada uma moeda
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Questões com Gabarito
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