Gabriel gosta de preencher quadriculados 3 × 3 com números de forma que quaisquer três deles, alinhados na horizontal, vertical ou diagonal

OBMEP 2021 - QUESTÃO 01

Gabriel gosta de preencher quadriculados 3 × 3 com números de forma que quaisquer três deles, alinhados na horizontal, vertical ou diagonal, tenham a seguinte propriedade: o número central deve ser a média aritmética dos seus dois vizinhos.

a) Complete o preenchimento do quadriculado abaixo, iniciado por Gabriel.

b) Preencha o quadriculado abaixo seguindo a mesma instrução indicada anteriormente.

c) Qual será a soma dos nove números do quadriculado abaixo após Gabriel terminar de preenchê-lo?

QUESTÃO ANTERIOR:

- Um dia é fantástico quando sua data, escrita na forma DD/MM/AA, contém todos os algarismos de 0 a 5. Por exemplo, o dia 12 de abril de 2053 será fantástico, pois sua data, 12/04/53, contém todos os algarismos de 0 a 5. Já o dia seguinte não será fantástico, pois sua data, 13/04/53, não contém o algarismo 2.

RESOLUÇÃO:

Item A

• Começando a preencher pela primeira linha, temos que a média de 2 e 14 é

• Em seguida, podemos preencher a primeira coluna, cuja média é 10. Logo, os dois números vizinhos devem somar 20; portanto, 18 é o número que falta na primeira coluna.

• Passando para a diagonal que contém o 18, a média entre 14 e 18 é

• A outra diagonal, assim como a segunda coluna e a segunda linha, tem média 16; logo, podemos facilmente preencher as casas restantes, pois 30 + 2 = 32; 8 + 24 = 32 e 10 + 22 = 32.

Observe que tudo se completou corretamente.

Item B

Vamos chamar de A o número que está na primeira linha e na primeira coluna, mas poderíamos ter escolhido outra casa da tabela para começar.

Assim, o número que falta na primeira linha é 14 – A, o número que falta na primeira coluna é 18 – A. Agora, pela diagonal que contém esse último número, temos que a casa central terá o número 16 – A.

Agora, temos que 20 + A = 32 – 2A, logo, A = 4.

Resta preencher as duas casas restantes. Isso é bastante simples, já que 17 + 7 = 24 = 2 × 12 e 20 + 10 = 30 = 2 × 15.

Item C

Agora só queremos a soma das nove casas e não o preenchimento completo. A casa central deve ser preenchida com 22.

Agora observe que as casas que ainda não foram preenchidas devem somar 28 + 44 + 60 = 132, pois A + B = 28; C + D = 44 e E + F = 60. Logo, as nove casas somam 132 + 14 + 22 + 30 = 198. Observe que 198 = 3 × (14 + 22 + 30) = 9 × 22.