OBMEP 2021 - QUESTÃO 01 Mariana tem um jogo de 15 pinos, sendo 5 pretos, 5 brancos e 5 cinzas. Pinos de mesma cor valem o mesmo número de po...
OBMEP 2021 - QUESTÃO 01
Mariana tem um jogo de 15 pinos, sendo 5 pretos, 5 brancos e 5 cinzas. Pinos de mesma cor valem o mesmo número de pontos. A pontuação obtida em uma jogada é a soma dos pontos correspondentes aos pinos derrubados.
Em uma jogada, Mariana fez 10 pontos ao derrubar dois pinos pretos. Em outra jogada, ela fez 12 pontos ao derrubar um pino preto e um branco. Numa terceira jogada, Mariana fez 55 pontos ao derrubar três pinos pretos, um branco e três cinzas.
a) Quantos pontos vale cada pino preto?
b) Quantos pontos vale cada pino cinza?
c) Mariana fez 42 pontos em uma jogada ao derrubar pelo menos um pino de cada cor. Quantos pinos de cada cor ela derrubou?
QUESTÃO ANTERIOR:
RESOLUÇÃO:
Item A
Como 2 pinos pretos valem 10 pontos e pinos de mesma cor têm o mesmo valor, concluímos que cada pino preto vale 10 ÷ 2 = 5 pontos.
Item B
Para saber quanto vale cada pino cinza, vamos calcular primeiramente quanto vale cada pino branco. Na segunda jogada, Mariana fez 12 pontos ao derrubar um pino branco e um preto.
Já vimos que cada pino preto vale 5 pontos; logo, um pino branco vale 12 – 5 = 7 pontos.
Na terceira jogada, Mariana fez 55 pontos e foram derrubados 3 pinos pretos (15 pontos), 1 pino branco (7 pontos) e 3 pinos cinzas (55 – 15 – 7 = 33 pontos). Logo, cada pino cinza vale 33 ÷ 3 = 11 pontos.
Item C
O enunciado informa que, na jogada em que Mariana fez 42 pontos, pelo menos um pino de cada cor foi derrubado. A resposta é única:
42 = 2 × 5 + 3 × 7 + 1 × 11 (2 pinos pretos, 3 pinos brancos e 1 pino cinza).
Vejamos como essa resposta foi encontrada e por que não há outra solução:
• Se somente um pino cinza foi derrubado, o total dos valores dos pinos pretos e brancos derrubados deve ser 42 – 11 = 31. Observando a tabuada do 5 e a do 7, vemos que a única maneira de escrever 31 como uma soma de um múltiplo de 5 com um múltiplo de 7 é 31 = 2 × 5 + 3 × 7. Essa é a solução apresentada acima.
• Se dois pinos de cor cinza foram derrubados, o total dos valores dos pinos pretos e brancos derrubados deve ser 42 – 22 = 20. Observando a tabuada do 5 e a do 7, vemos, de maneira análoga, que a única forma de escrever 20 como uma soma de um múltiplo de 5 com um múltiplo de 7 é 20 = 4 × 5 + 0 × 7, mas essa solução não serve, pois o enunciado diz que ao menos um pino branco foi derrubado.
• Se três pinos de cor cinza foram derrubados, o total dos valores dos pinos pretos e brancos derrubados deve ser 42 – 33 = 9, e é impossível escrever 9 como soma de um múltiplo de 5 com um múltiplo de 7.
• Se quatro ou mais pinos de cor cinza foram derrubados, o total dos valores dos pinos derrubados ultrapassa 42 e, portanto, não é esse o caso.
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