Em artigo publicado em 2022, uma física e um físico brasileiros propuseram uma interessante analogia entre
FUVEST 2023 - QUESTÃO 06
Em artigo publicado em 2022, uma física e um físico brasileiros propuseram uma interessante analogia entre congestionamentos de carros e a física de buracos negros (Luanna K. de Souza, George E. A. Matsas, “Black-hole analog in vehicular traffic”, American J. of Phys. 90, 692 (2022)).
Considere uma fila de 9 carros inicialmente em posições 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2,….,𝑥8 separados um do outro por uma distância D e se movendo com velocidade constante 𝑣 na direção negativa de um eixo x.
No instante inicial, o carro 0 freia, acionando sua luz de freio. Após um tempo de reação 𝑇1, o carro 1 freia, acionando agora a sua luz de freio. O carro 2, por sua vez, freia e aciona sua luz de freio um tempo 𝑇2 após o carro 1 acionar a sua luz de freio e assim sucessivamente.
Para este problema, considere que no instante da primeira frenagem (instante inicial): (i) o carro 0 esteja localizado na origem (𝑥0 = 0); (ii) a distância entre os carros seja de 𝐷 = 20 m; e (iii) todos os carros tenham a mesma velocidade escalar |𝑣⃗| = 𝑣ini.
a) Dada a velocidade 𝑣ini = 72 km/h, calcule o tempo de reação máximo 𝑇máx para que não ocorram colisões entre quaisquer dois carros.
Texto para os itens (b) e (c):
Em geral, os tempos de reação dos motoristas não são iguais. Por exemplo, se os primeiros carros estiverem envoltos em neblina ou fumaça, os tempos de reação serão maiores para os primeiros carros da fila e menores para os últimos carros da fila. Considere a tabela a seguir, que mostra os tempos de reação 𝑇1, 𝑇2,…,T8 (em segundos) retratando uma situação como essa.
Se o tempo de reação de um dado carro for maior que 𝑇máx, este carro inevitavelmente irá colidir com o carro da frente. Em uma analogia proposta pelos autores do artigo, este carro entra no “horizonte de eventos” de um “buraco negro veicular”.
b) Suponha agora uma outra velocidade 𝑣ini tal que 𝑇máx = 0,89 s. Utilizando os dados da tabela, determine, em metros, a posição do “horizonte de eventos”, ou seja, a posição 𝑥H tal que todos os carros com posição inicial 𝑥j ≤ 𝑥H inevitavelmente colidirão com o carro da frente.
c) Calcule o intervalo de velocidades 𝑣ini compatível com 𝑥H = 60 m.
QUESTÃO ANTERIOR:
GABARITO:
a) tmáx = 1,0s
b) x5 = 100m
c) 12,5m/s < |V| ≼ 20m/s
Observação: Na resposta do item (b) o valor de 100m corresponde à posição do último carro que certamente vai colidir (TR = 0,90s). Como Tmáx = 0,89s, o valor de xH é um pouco maior que 100m e menor que 120m, que corresponde ao TR = 0,75s.
RESOLUÇÃO:
a)
V = 72km/h = 20m/s; D = 20m
Podemos observar que o gráfico V x t dos carros de 0 a 8 é expresso da seguinte forma:
A diferença entre os deslocamentos de dois carros consecutivos é dada pela área do paralelogramo destacado.
De acordo com o enunciado esta diferença deve ser menor ou igual a D = 20m.
Δs12 ≼ D
tR . 20 ≼ 20 (SI)
tR ≼ 1,0s ⇒ tR(máx) = 1,0s
Temos que o tempo de reação máximo deve ser correspondente a 1,0s.
b) De acordo com a tabela para termos t > tmáx = 0,89s, vem:
t5 = 0,90s
a posição x5 = 5D, logo x5 = 5 . 20 (m)
x5 = 100m
c) Se xH = 60m, temos:
J . 20 = 60 (SI)
J = 3
Logo o carro x3 estará no horizonte de eventos, ou seja, os carros de índices J de 1 a 3 irão colidir.
Para isso devemos ter ∆s23 > D:
∆s23 = área (V x t)
1,6 . |V| > 20 (SI)
|V| > 12,5m/s
Porém a partir do carro x4, não pode ocorrer colisão:
ΔS34 ≼ D
1,0V’ ≼ 20 (SI)
V’ ≼ 20m/s
Logo:
12,5m/s < |V| ≼ 20m/s
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