UEL 2022 / QUESTÃO 27 Leia o texto a seguir. Zeus encarregou Hefesto e Atena de criar Pandora, primeira mulher a viver com os homens na Terr...
UEL 2022 / QUESTÃO 27
Leia o texto a seguir.
Zeus encarregou Hefesto e Atena de criar Pandora, primeira mulher a viver com os homens na Terra. Pandora recebeu qualidades como graça, beleza e inteligência. Antes de ser enviada à Terra, Zeus entregou-lhe uma caixa com a recomendação de que esta não deveria ser aberta. Nela continham todos os infinitos males do mundo: a guerra, o ódio, a inveja. Além da Esperança – único dom presente na Caixa. Pandora não conseguiu resistir à curiosidade e, abrindo a caixa, libertou todas as mazelas. Arrependida, tornou a fechá-la, mantendo presa somente a esperança.
Adaptado de: www.todamateria.com.br/
Considere que a Caixa de Pandora tenha volume 
Admita que a Esperança possua volume V0. Além disso, ao abrir a Caixa, Pandora observa que os males saem um por vez, conforme uma sequência infinita, de modo que cada n-ésimo mal possua um volume Vn associado, com n ∈ {1, 2, 3, · · · }. Admita que
e que 
para todo n ≥ 1. Embora mitológica, a Caixa de Pandora obedece a um princípio básico: a soma dos volumes V0, V1, V2,· · · , Vn,· · · de todos os seus elementos é menor ou igual a C. Sobre V0, V1, V2,· · · , Vn,· · · atribua V (verdadeiro) ou F (falso) para as afirmativas a seguir.
Admita que a Esperança possua volume V0. Além disso, ao abrir a Caixa, Pandora observa que os males saem um por vez, conforme uma sequência infinita, de modo que cada n-ésimo mal possua um volume Vn associado, com n ∈ {1, 2, 3, · · · }. Admita que e que para todo n ≥ 1. Embora mitológica, a Caixa de Pandora obedece a um princípio básico: a soma dos volumes V0, V1, V2,· · · , Vn,· · · de todos os seus elementos é menor ou igual a C. Sobre V0, V1, V2,· · · , Vn,· · · atribua V (verdadeiro) ou F (falso) para as afirmativas a seguir.
Assinale a alternativa que contém, de cima para baixo, a sequência correta.
a) V, V, F, F, V.
b) V, F, V, F, V.
c) V, F, F, V, V.
d) F, V, F, V, F.
e) F, V, V, V, F.
QUESTÃO ANTERIOR:
GABARITO:
c) V, F, F, V, V.
RESOLUÇÃO:
Sobre a sequência V1, V2, · · · , Vn, · · · , observe que, como 
temos que 
temos que Da mesma forma, 
Prosseguindo, de maneira análoga, concluímos que:
para todo n ∈ {1,2,3,· · · }. Consequentemente, têm-se que Vn, para todo n ∈ {1,2,3,· · · }, é uma progressão geométrica (infinita) de razão 
e termo inicial 
e termo inicial 
Outrossim, a soma S dos seus termos é dada por
Assim, podemos prosseguir à análise das afirmativas.
I. Verdadeiro. Veja que a soma dos volumes V0, V1, V2, · · · , Vn, · · · de todos os elementos da Caixa de Pandora é menor ou igual a C. Consequentemente, observe que V0 + V1 + · · · + Vn + · · · ≤ C. Como V1 + · · · + Vn + · · · = 
então V0 + S ≤ C. Logo V0 ≤ C − S, que resulta em 
então V0 + S ≤ C. Logo V0 ≤ C − S, que resulta em II. Falso. Haja vista que 
Com isso, concluímos que V1, V2, · · · não é uma progressão aritmética, pois não existe constante que, somada ao termo anterior, produza o termo seguinte.
III. Falso. Haja vista que, já para n = 2, a afirmação não se verifica, pois 
IV. Verdadeiro. A função f : {1, 2, · · · , n, · · · } → {V1, V2, · · · , Vn, · · · } dada por f(n) = Vn é uma bijeção. De fato, f é injetora, pois se f(m) = f(n), então Vn = Vm. O que implica que 
Resultando em 2ⁿ⁺¹= 2ᵐ⁺¹, que permite concluir que n = m. Além disto, f é sobrejetora. De fato, dado
existe n ∈ {1, 2, · · · , n, · · · } tal que f(n) = Vn.
V. Verdadeiro. 
Como 
para todo n ≥ 1, concluímos a afirmativa.
Como para todo n ≥ 1, concluímos a afirmativa.PRÓXIMA QUESTÃO:
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